AEM HW1

1.數學上為什麼會有複數，其組成為何？優點為何？(10%)

十六世紀義大利數學家得出一元三次和四次方程式的根表達式.
並發現即使只考慮實數根, 仍不可避免面對負數方根.
到了十八世紀末才漸漸被世人接受.
有關複數的定義為實數a,b 組成的有序對.
相關之和為：(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
相關之積為：(a,b)．(c,d)=(ac-bd,bc+ad).
複數數系是一個域, 複數域常以C 來表示.
一個實數a 等同於複數(a,0), 故實數域為複數域的子域.
虛單位i 就是複數(0,1).
優點就是可以用於解決許多高次多項式的根不能表達的問題.

2.請舉例子說明複數的應用。(10%)

在系統分析中, 系統常常藉由拉普拉斯轉換從時域轉換到頻域.
因此可在複平面上分析系統的極點和零點.
分析系統穩定性的根軌跡法, 奈奎斯特圖法和尼科爾斯圖法都是在複平面上進行的.
無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面, 根軌跡法都很重要.
如果系統極點位於右半平面, 則因果系統不穩定;
都位於左半平面, 則因果系統穩定;
位於虛軸上, 則系統為臨界穩定的.
如果系統的全部零點都位於右半平面, 則這是個最小相位系統.
如果系統的極點和零點關於虛軸對稱, 則這是全通系統.